Джон Форбс Неш

Джон Форбс Неш народився 13 червня 1928 р. у cуворій протестантській родині. Батько працював інженером у компанії AppalachianElectricPower. Мати до заміжжя встигла 10 років пропрацювати шкільною вчителькою.

У школі вчився посередньо, а математику взагалі не любив – у школі її викладали нудно. Коли Нешу було 14, до його рук потрапила книга Еріка Т. Белла «Великі математики». «Прочитавши цю книгу, я зумів сам, без сторонньої допомоги, довести малу теорему Ферма», – пише Неш у своїй автобіографії. Так його математичний геній заявив про себе.

Далібуло навчання в Політехнічному інституті Карнегі (нині приватний Університет Карнегі-Меллона), де Неш намагався вивчати хімію, прослухавкурс міжнародної економіки тазгодомостаточно вирішив зайнятися математикою.

 1948 року, закінчивши інститут з двома дипломами- бакалавра і магістра, він вступив до Принстонського університету. Інститутський викладач Неша Річард Даффін забезпечив його одним із найлаконічніших рекомендаційних листів. У листі був єдиний рядок: «Ця людина – геній!». Дуже сильна особистість та вчений, який багато і плідно працював у сфері диференціальної геометрії і теорії ігор.

Неш у 1978 р.отримав Нейманівську теоретичну премію за фундаментальний внесок утеорію управління; у 1999 р. отримав Премію Стіла Американського математичного товариства вкатегорії «Плідний внесок у дослідження». 2015 року, на 87 році життя, отримав Абелівську премію за яскравий і оригінальний внесок у теорію нелінійних диференціальних рівнянь та їхнє застосування до геометричного аналізу.

Теорія ігор – математичний метод вивчення оптимальних стратегій в іграх. Під грою розуміється процес, у якому беруть участь дві і більше сторін, які ведуть боротьбу за реалізацію своїх інтересів. Кожна зі сторін має свою мету і використовує стратегію, яка може вести до виграшу або програшу – залежно від поведінки інших гравців. Теорія ігор допомагає вибрати кращі стратегії з урахуванням уявлень про інших учасників, їх ресурси і їх можливі вчинки.

Теорія ігор – це розділ прикладної математики, точніше – дослідження операцій. Найчастіше методи теорії ігор знаходять застосування в економіці, трохи рідше в інших суспільних науках – соціології, політології, психології, етиці, юриспруденції та інших. Як один із підходів у прикладній математиці, застосовується для вивчення поведінки людини і тварин у різних ситуаціях. Спочатку теорія ігор почала розвиватися в рамках економічної науки, дозволивши зрозуміти й пояснити поведінку економічних агентів у різних ситуаціях. Пізніше теорія ігор почала застосовуватись в інших соціальних науках; сьогодні теорія ігор використовується для пояснення поведінки людей у політології, соціології та психології. Деякі дослідники вважають, що за допомогою визначення рівноваги у відповідних іграх вони можуть передбачити поведінку людських популяцій у ситуації реальної конфронтації. Такий підхід до теорії ігор останнім часом піддається критиці з кількох причин. По-перше, припущення, що використовуються при моделюванні, найчастіше порушуються в реальному житті. Дослідники можуть припускати, що гравці вибирають поведінку, яка максимізує їх сумарну вигоду (модель економічної людини), однак на практиці людська поведінка часто не відповідає цій передумові. Існує безліч пояснень цього феномена - нераціональність, моделювання обговорення і навіть різні мотиви гравців (включаючи альтруїзм). Автори теоретико-ігрових моделей заперечують, стверджуючи, що їх припущення аналогічні подібним припущенням у фізиці. Тому навіть якщо їхні припущення не завжди виконуються, теорія ігор може використовуватися як розумна ідеальна модель, за аналогією з такими ж моделями у фізиці.

Досконало вивчивши різні ігри, створивши серію нових математичних ігор та спостерігаючи за діями учасників у різних ігрових ситуаціях, Неш намагався глибше зрозуміти, як функціонує ринок, як компанії приймають пов'язані з ризиком рішення, чому покупці діють у певний спосіб. В економіці, як і в грі, керівники фірм повинні враховувати не тільки останній, а й попередні кроки конкурентів, а також ситуацію на всьому економічному (ігровому, наприклад, шаховому) полі та багато інших важливих факторів. Суб'єкти економічного життя — активні учасники, які на ринку в умовах конкуренції йдуть на ризик, і він повинен бути виправданий. Тому кожний з них, немов гравець, мусить мати свою стратегію. Саме це мав на увазі Неш, коли розробляв метод, який згодом назвали його іменем (рівновага Неша).

Своє розуміння стратегії як основного поняття теорії ігор Дж.-Ф. Неш роз'яснює на основі "гри з нульовою сумою" (він називає це "симетричною грою"), коли кожний учасник має певне число стратегій. Виграш кожного гравця залежить від того, які стратегії вибрав і він, і його противник. На підставі цього будується матриця для знаходження оптимальної стратегії, яка за багатократного повторення гри забезпечує цьому гравцю максимально можливий середній виграш (або ж максимально можливий середній програш). Оскільки гравцю невідомо, яку стратегію обере противник, йому самому краще (раціональніше) вибрати стратегію, розраховану на найгіршу для нього поведінку противника (принцип так званого «гарантованого результату»). Діючи обережно і вважаючи противника сильним конкурентом, наш гравець вибере для кожної своєї стратегії мінімально можливий виграш. Потім з усіх мінімально виграшних стратегій він обере таку, яка забезпечить максимальний з усіх мінімальних виграш – максимин.

Але і супротивник, імовірно, міркуватиме аналогічно. Він знайде для себе найбільші програші у всіх стратегіях гравця, а потім з цих максимальних програшів вибере мінімальний – мінімакс. У випадку рівності максимина мінімаксу рішення гравців будуть стійкими, а гра матиме рівновагу. Стійкість (рівновага) рішень (стратегій) полягає в тому, що відходити від обраних стратегій буде невигідно для обох учасників гри. У випадку, коли максимин не дорівнює мінімаксу, рішення (стратегії) обох гравців, якщо вони хоч якоюсь мірою вгадали вибір стратегії противника, виявляються нестійкими, неврівноваженими.

Загальне коротке визначення рівноваги Неша – результат, у якому стратегія кожного з гравців є найкращою серед інших, прийнятих рештою учасників гри стратегій. Це визначення ґрунтується на тому, що жоден з гравців зміною власної ролі не може досягти найбільшої користі (максимізації функції корисності), якщо решта учасників твердо дотримуються власної лінії поведінки. Найбільше відкриття Неша – це виведена формула рівноваги. Рівновага Неша – це набір ходів, де ніхто не хоче зробити щось інакше після доконаного факту. І якщо ми зможемо змусити це працювати, теорія ігор замінить усю філософську, релігійну і фінансову систему на планеті, тому що «бажання не прогоріти» стало для людства більш потужною рушійною силою, ніж вогонь.Вона описує ігрову стратегію, уякій виграш збільшити не може жоден учасник, якщо змінить своє рішення в односторонньому порядку. Наприклад, робочий мітинг (вимагає підвищення соціальних пільг) може завершитися угодою сторін або ж путчем. Для взаємної вигідності дві сторони повинні використовувати ідеальну стратегію. Вчений зробив математичне обґрунтування поєднань колективної та особистої вигоди, понять конкуренції. Також він розвинув «теорію торгів», яка була покладена в основу сучасних стратегій різних угод (аукціонів тощо).

Свою формулу рівноваги Дж.-Ф. Неш багаторазово посилив, включивши до неї як незамінний фактор для вироблення стратегій показник оптимального обсягу інформації. Цей показник оптимальності він вивів з аналізу ситуацій з повним інформуванням гравця про своїх противників та з неповним інформуванням про них. Перевівши цей постулат з математичної мови на мову економічну, Неш запровадив некеровані змінні ринкових відносин як важливий інформаційний елемент знання умов зовнішнього середовища. Після цього рівновага Неша стала методом, що використовується практично в усіх галузях економічної науки для кращого розуміння складних взаємозв'язків.

Спочатку думайте. У цьому вся суть теорії ігор. Не обов'язково виграти і тим більше нашкодити іншим гравцям, але обов'язково зробити кращий для себе хід, незалежно від того, що підготує для вас оточення. І навіть краще, якщо цей хід буде вигідний і для інших гравців. Це свого роду математика, яка могла б змінити суспільство. Давайте швидко поділимо 100 $. Ви і я вирішуємо, скільки із сотні ми вимагаємо і одночасно озвучуємо суми. Якщо наша загальна сума менше ста, кожен отримує те, що хотів. Якщо загальна кількість більше ста, той, хто попросив найменшу кількість, отримує бажану суму, а більш жадібна людина отримує те, що залишилося. Якщо ми просимо однакову суму, кожен отримує 50 $. Скільки ви попросите? Як ви розділите гроші? Існує єдиний виграшний хід.

Вимога 51 $ дасть вам максимальну суму незалежно від того, що вибере ваш супротивник. Якщо він попросить більше, ви отримаєте 51 $. Якщо він попросить 50 $ або 51 $, ви отримаєте 50 $. І якщо він попросить менше 50 $, ви отримаєте 51 $. У будь-якому випадку немає ніякого іншого варіанту, який принесе вам більше грошей ніж цей. Рівновага Неша - ситуація, у якій ми обоє вибираємо 51 $.

«Рівновага Неша» активно використовується в аналізі олігополій: поведінці невеликої кількості конкурентів в окремому секторі ринку. Крім того, на Заході теорія ігор активно використовується під час видачі ліцензій на мовлення або зв'язок: головний орган математично вираховує найбільш оптимальний варіант розподілу частот. Так само успішний аукціоніст сам визначає, яку інформацію про лоти можна надавати конкретним покупцям, щоб отримати оптимальний дохід. З теорією ігор успішно працюють у юриспруденції, соціальній психології, спорті та політиці. Для останньої характерним прикладом існування «рівноваги Неша» є інституціоналізація поняття «опозиція».

Однак теорія ігор знайшла своє застосування не тільки в соціальних науках. Сучасна еволюційна теорія була б неможлива без уявлення про «рівновагу Неша», що математично пояснює, чому вовки ніколи не з'їдають усіх зайців (бо інакше вони через покоління помруть від голоду), і чому тварини з дефектами роблять свій внесок у генофонд свого виду (тому що в цьому разі вид може придбати нові корисні характеристики).

Нобелівська лекція

·        Nash, John Forbes(1994) The Work of John Nash in Game Theory Prize Seminar, December 8, 1994

[http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/1994/nash-lecture.pdf]

 

Рівновага Неша

·        Nash, John Forbes (1950). "Equilibrium Points in N-person Games". Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1): 48–49. doi:10.1073/pnas.36.1.48. MR 0031701. PMC 1063129. PMID 16588946.  [http://www.pnas.org/content/36/1/48.full.pdf]

·        Nash, John Forbes (1950). "The Bargaining Problem" (PDF). Econometrica 18 (2): 155–62. doi:10.2307/1907266. JSTOR 1907266. [http://www.eecs.harvard.edu/cs286r/courses/spring02/papers/nash50a.pdf]

 

Дослідження теорії ігор

·        Nash, John Forbes (1951). "Non-cooperative Games" (PDF). Annals of Mathematics 54 (2): 286–95. doi:10.2307/1969529. JSTOR 1969529. [http://lcm.csa.iisc.ernet.in/gametheory/Classics/NCG.pdf]

·        Nash, John Forbes (1953). "Two-person Cooperative Games" (PDF). Econometrica 21 (1): 128–40. doi:10.2307/1906951. MR 0053471.[https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/papers/2005/P172.pdf]

·        Nash, John Forbes (1952). "Real algebraic manifolds". Annals of Mathematics 56 (3): 405–21. doi:10.2307/1969649. JSTOR 1969649. See "Proc. Internat. Congr. Math". AMS. 1952. pp. 516–17.[http://www.jstor.org/stable/1969649?seq=1#page_scan_tab_contents]

 

Joomla Plugins